10. Pozdní stadia vývoje hvězd, novy, supernovy

Úloha 10.1 Červený obr o poloměru $10^2 \,R_{\odot}$ se nachází ve vývojovém stadiu, kdy vodík v centrální části již vyhořel na helium, ale hoření samotného helia ještě nezačalo. Hlavním zdrojem energie je hoření vodíku v slupce obklopující heliové jádro. Vodíková slupka ve vzdálenosti $( 1,8 - 2,0 ) . 10^7\mathrm{m}$ se vyznačuje hustotou $5 . 10^4 \mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ a teplotou $5 . 10^7\mathrm{K}$. Určete zářivý výkon a efektivní povrchovou teplotu červeného obra. Při výpočtu uvolňované energie volte $X \cong 0,5$, $X_{\mathrm{CN}} \cong 0,005$.

Úloha 10.2 Určete gravitační potenciální energii vnější konvektivní obálky červeného obra Arktura, u kterého je hmotnost jádra $M_$J$=0,8\,M_{\odot}$ a vnější obálky $M_$ob$=0,3\,M_{\odot}$, poloměr dosahuje $30\,R_{\odot}$. Stanovte celkovou energii hvězdy.

Úloha 10.3 Modelový červený obr má poloměr $20\,R_{\odot}$. Kompaktní jádro o hmotnosti $M_$j$=0,6\,M_{\odot}$ je obklopeno rozsáhlou vnější konvektivní obálkou o hmotnosti $M_$ob$=0,2\,M_{\odot}$. Určete gravitační potenciální energii obálky! Aplikací viriálové věty, za předpokladu $\gamma=5/3$ stanovte tepelnou energii $E_$k plynu. Za zjednodušujícího předpokladu, že obálka je složena z plně ionizovaného vodíku, určete velikost energie, která by se uvolnila při ochlazování a rekombinaci na neutrální vodík. Rekombinační energie je $13,6\,$eV.

Úloha 10.4 Hmotnost jádra atomu uhlíku $^{12}_{\;6}$C je $m_$C$=1,99.10^{-26}\,$kg, hořčíku $^{24}_{12}$Mg je $m_$Mg$= 3,96 . 10^{ -26}\,$kg. Předpokládejte, že hvězda o hmotnosti $M = 10\,M_{\odot}$ a zářivém výkonu $L = 10^7\,L_{\odot}$ v nitru přemění $10\,\%$ hmotnosti uhlíku na hořčík v průběhu svého vývoje. Jaká je doba života hvězdy v tomto vývojovém stadiu?

Úloha 10.5 Dokažte, že pro úbytek hmotnosti hvězd v pozdních stadiích vývoje platí $\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}\sim\frac{L}{gR}$, respektive $\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}\sim\frac{LR}{M}$. Při přesnějších kvantitativních výpočtech používáme Reimersův vztah $\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}\cong-4.10^{-13}\frac{L}{gR}$, kde $L$, $g$, $R$ dosazujeme v patřičných jednotkách Slunce, úbytek hmotnosti je v  $M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$. Odhadněte úbytek hmotnosti hvězdy asymptotické větve obrů o hmotnosti $1\,M_{\odot}$, zářivém výkonu $7 . 10^3L_{\odot}$ a teplotě $3\, 000\,\mathrm{K}$.

Úloha 10.6 Zářivý výkon hvězdného větru je dán jeho kinetickou energií $L_\nu=\frac{1}{2}\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}v^2$ za sekundu. Odhadněte zářivý výkon hvězdného větru o rychlosti $v\cong25\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ u veleobra Betelgeuze $15\,M_{\odot}$, $1 160\,R_{\odot}$, $2 . 10^5 \,L_{\odot}$.

Úloha 10.7 Podle Kraftova výkladu z r. 1963 je jev novy výsledkem termonukleární exploze obálky na povrchu bílého trpaslíka, která na něj byla přenesena ze sousední hvězdy bohaté na vodík. Určete hmotnost látky vstupující do reakce, jestliže budeme předpokládat, že při explozi se uvolňuje energie $10^{ 39}\mathrm{ J}$.

Úloha 10.8 Uvažujme vrstvu vodíku o hmotnosti $10^{ - 6}M_{\odot}$ na povrchu bílého trpaslíka. Vodík se při termonukleárních reakcích přemění na helium. Jak dlouhou dobu bude nova zářit, jestliže předpokládáme, že její zářivý výkon je roven eddingtonovskému? V chemickém složení uvažujeme pouze vodík, pro opacitu platí $\kappa\cong\left(1+X\right)\,0,02\,\mathrm{m}^2.\mathrm{kg}^{-1}$, při $X = 1$ dostaneme $\kappa\cong0,04\,\mathrm{m}^2.\mathrm{kg}^{-1}$.

Úloha 10.9 Při hoření vodíku na povrchu bílého trpaslíka se uvolňuje energie $E=10^{39}\,$J. Velikost uvolňované energie na hmotností jednotku je $\epsilon=6,42.10^{14}\,$J$\,$kg$^{-1}$. Jaké množství vodíku je při explozi spáleno?

Úloha 10.10 Explozivní hoření na dně tenké vodíkem bohaté vrstvy na povrchu bílého trpaslíka může eventuálně vrcholit expanzí této vrstvy. Pro bílého trpaslíka o hmotnosti $M =M_{\odot}$ a s poloměrem $R\approx 0,01\,R_{\odot}$ vypočtěte zlomek $f$ hmotnosti vrstvy, která bude přeměněna na helium a dodá energii nezbytnou na expanzi, předpokládejme, že vrstva má sluneční chemické složení. Odvoďte závislost $f$ na $M$ pro $M < M_\mathrm{Ch}$.

Úloha 10.11 Na povrchu bílého trpaslíka o hmotnosti $1\,M_{\odot}$ a poloměru $2. 10^{ - 2}\,R_{\odot}$ se nachází vrstva vodíku o hmotnosti $10^{ - 4}M_{\odot}$. Porovnejte gravitační potenciální energii trpaslíka před výbuchem novy s kinetickou energií expandujících vrstev po výbuchu, jestliže předpokládáme, že se tyto vrstvy vzdalují rychlostí $1000\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ od povrchu bílého trpaslíka, přičemž expanduje pouze 10% hmoty vodíkové vrstvy.

Úloha 10.12 Pozorovatelé obdrželi zprávu, že v galaxii MCG+09-16-034 ve vzdálenosti $400\,$Mpc explodovala supernova typu Ia s předpokládanou absolutní hvězdnou velikostí $M_$B$= - 19,5\,$mag. Mohou astronomové dalekohledem vybaveným CCD technikou s limitní hvězdnou velikostí zařízení $m_$B$= 19,0\,$mag tuto supernovu pozorovat?

Úloha 10.13 U supernovy 1972 E typu Ia byla zjištěna pozorovaná hvězdná velikost $m_$B$= 8,5\,$mag. Při předpokladu její absolutní hvězdné velikosti $M_$B$= - 19,5\,$mag určete vzdálenost vnější galaxie NGC 5253, kde se supernova nachází.

Úloha 10.14 Při výbuchu novy platí zákon zachování hybnosti pro expandující obálku ve tvaru $\left(\frac{4}{3}\pi r^3\rho+M_0\right)v=M_0v_0$, kde $r$ je vzdálenost obálky od hvězdy, $\rho$ je hustota mezihvězdného prostředí, $M_0$ je hmotnost obálky, $v$ je rychlost obálky ve vzdálenosti $r$ a $v_0$ počáteční rychlost expanze obálky. Dosazením $v=\frac{dr}{dt}$ a následnou integrací obdržíme $\frac{1}{3}\pi r^4\rho+M_0r=M_0v_0t$, což je vztah určující poloměr obálky v závislosti na čase. Určete, za jaký čas se rychlost expandující obálky zmenší na polovinu. Jsou zadány $\rho=3.10^{-21}\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$, $v_0=1000\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, $M_0=10^{-4}M_{\odot}$.

Úloha 10.15 Po explozi supernovy vznikla neutronová hvězda o hmotnosti $1,4\,M_{\odot}$ a poloměru $R = 15\,$km. Při procesu neutronizace se většina protonů přeměnila na neutrony. Určete gravitační potenciální energii neutronové hvězdy!

Úloha 10.16 Určete velikost gravitační potenciální energie, která se uvolní při výbuchu supernovy.

Úloha 10.17 U supernov I typu je pravděpodobným zdrojem energie v maximu jasnosti rozpad ${}_{28}^{56}\mathrm{Ni}\rightarrow{}_{27}^{56}\mathrm{Co}+e^++\nu_e+\gamma$ probíhající při explozi radioaktivního izotopu ${}_{28}^{56}\mathrm{Ni}$. Jak velká hmotnost látky obsahující izotop ${}_{28}^{56}\mathrm{Ni}$ je nezbytná pro objasnění zářivých výkonů $\cong 3 . 10^{ 36}\mathrm{ W}$ supernov v maximu? Poločas rozpadu ${}_{28}^{56}\mathrm{Ni}$ je $\tau_{1/2} = 6,1\,$dne a energie uvolňovaná při rozpadu je $1,78\,\mathrm{MeV}$.

Úloha 10.18 Předpokládejte, že při explozi supernovy každé neutrino odnáší průměrnou energii $5\,$MeV. Stanovte počet neutrin vzniklých při neutronizaci a velikost energie jimi odnášené.

Úloha 10.19 Ve vzdálenosti $3\,$kpc od Země explodovala supernova typu II. Jestliže všechna neutrina unikla z neutronové hvězdy, určete jejich počet dopadající na $1\,$m$^2$ povrchu Země. Předpokládejte, že původní hvězda měla hmotnost asi $15\,M_{\odot}$. Odtržením od neutronové hvězdy přibližně něco méně než $14\,M_{\odot}$ hmoty hvězdy expanduje do okolí. Je-li průměrná expanzní rychlost $6~000\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ určete celkovou kinetickou energii zbytků supernovy.

Úloha 10.20 Předpokládáme-li průměrnou absolutní bolometrickou hvězdnou velikost supernovy v průběhu exploze $M_$bol$= - 17\,$mag, určete celkové množství vyzářené energie při explozi v průběhu šesti týdnů.

Úloha 10.21 Maxima jasnosti ve vizuálním oboru dosahuje supernova v okamžiku, kdy se expandující fotosféra ochladí na teplotu asi $7\,000\,$K. Právě teploty $( 5\,500 - 7\,500)\,$K jsou optimální pro produkci světelných kvant ve vizuálním oboru. U hvězd hlavní posloupnosti odpovídá tento teplotní rozsah spektrálním třídám mezi G5 - F0, u kterých je bolometrická korekce blízká k nule. Typické supernovy dosahují absolutních hvězdných velikostí $M_$bol$=(-16,0$    až$-19,0)\,$mag v maximu své jasnosti. Určete poloměr fotosféry odpovídající každé z těchto hodnot.

Úloha 10.22 V další fázi vývoje supernov po dosažení maxima jasnosti je možným zdrojem energie rozpad ${}_{27}^{56}\mathrm{Co}\rightarrow{}_{26}^{56}\mathrm{Fe}+e^++\nu_e+\gamma$ s uvolňovanou energií $3,72\,\mathrm{MeV}$. Poločas rozpadu ${}_{27}^{56}\mathrm{Co}$ je $\tau_{1/2} = 77,7\,$dne. Určete předpokládané množství látky obsahující tento izotop, které je nezbytné k tomu, aby objasňovalo zářivé výkony supernov po několika stovkách dnů po dosažení maxima jasnosti $\cong 10^{35}\mathrm{W}$. Údaje odpovídají supernově 1987 A.

Úloha 10.23 Celková energie uvolňovaná při výbuchu supernov I typu je odhadována $\cong10^{44}\mathrm{J}$. Určete rychlost expanze, jestliže budeme modelově předpokládat, že veškerá uvolněná energie se přemění na kinetickou energii obálky o hmotnosti $0,5\,M_{\odot}$.

Úloha 10.24 Po explozi supernovy postupuje okolním prostorem rázová vlna, za jejímž čelem vznikají vysoké teploty, pro které lze při předpokladu platnosti zákona zachování energie odvodit vztah $T=\frac{3}{16}\frac{m_\text{p}v^2}{k}$. Určete teplotu rázové vlny, jejíž čelo postupuje rychlostí $1\,000\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Úloha 10.25 Mlhovina zbylá po výbuchu supernovy se pohybuje rychlostí přibližně $v = 800\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, její úhlový průměr je zhruba $3^\circ$ a její vzdálenost je $800\,\pc$. Stanovte stáří mlhoviny, uvažujeme-li hypotézu, že výbuch byl adiabatický. Za tohoto předpokladu platí vztah $R=\frac{5}{2}vt$, kde $R$ je vzdálenost od místa exploze supernovy.

Úloha 10.26 Z Cha je typem kataklyzmické proměnné zvané trpasličí nova. Skládá se z bílého trpaslíka o hmotnosti $0,85\,M_{\odot}$ a poloměru $0,01\,R_{\odot}$, druhou složkou je hvězda hlavní posloupnosti pozdní spektrální třídy M o hmotnosti $0,17\,M_{\odot}$. Oběžná doba soustavy je $T = 0,0745\,\mathrm{ d}$. Objasněte astrofyzikální podstatu soustavy, určete maximální teplotu $T_{\max}$ a hodnotu zářivého výkonu disku při jeho akreci, jestliže ${\mathrm d}M/{\mathrm d}t = 1,3 . 10^{ - 9}M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$, přibližně $10^{ 13}\mathrm{kg}.\mathrm{s}^{ - 1}$.

Úloha 10.27 Akrece je nárůst hmoty hvězdy vyvolaný např. přitažlivostí. Jestliže padající hmota při srážce s povrchem hvězdy vyzáří svoji energii získanou v gravitačním poli, můžeme její zářivý výkon zapsat vztahem $L=G\frac{M}{R}\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}$, kde $\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}$ je rychlost akrece, množství dopadající hmoty za $1\,s$ na povrch hvězdy, $M$, $R$ jsou hmotnost a poloměr hvězdy. Určete koeficient uvolňování energie, který je roven poměru uvolňované energie a klidové energie hmoty, která se účastní procesu uvolňování energie. Propočtěte tento koeficient pro
a) neutronovou hvězdu $M=1,5\,M_{\odot}$, $R = 10\,\mathrm{km}$,
b) bílého trpaslíka $M=1,4\,M_{\odot}$, $R = 5000\,\mathrm{km}$.
Porovnejte s efektivitou uvolňování energie v pp řetězci.

Úloha 10.28 Porovnejte maximální teploty disku $T_{\max}$ a zářivé výkony disku při akreci u bílého trpaslíka a neutronové hvězdy. Je zadáno:
a) bílý trpaslík - $0,85\,M_{\odot}$, $0,0095\,R_{\odot}$, ${\mathrm d}M/{\mathrm d}t = 10^{ 13}\mathrm{kg}.\mathrm{s}^{-1} =1,6 . 10^{ - 10}M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$,
b) neutronová hvězda - $1,4\,M_{\odot}$, $R = 10\,\mathrm{km}$, ${\mathrm d}M/{\mathrm d}t = 10^{ 14}\mathrm{kg}.\mathrm{s}^{-1} = 1,6 . 10^{- 9} M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$.

Úloha 10.29 Planetární mlhovina s úhlovým průměrem $7'$ se nachází ve vzdálenosti $r = 150\,\pc$. Rychlost expanze planetární mlhoviny zjištěná spektroskopicky je $25\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Určete skutečný průměr planetární mlhoviny a její stáří za předpokladu, že expanze probíhala stále stejnou rychlostí.

Úloha 10.30 U supernovy 1987 A byl zjištěn rozdíl energií mezi první a poslední skupinou neutrin $\Delta E=10\,\mathrm{MeV}$, časový rozdíl činil $0,3\,\mathrm{s}$. Při znalosti vzdálenosti $r$ Velkého Magellanova mračna $50\,\mathrm{kpc}$ stanovte horní hranici hmotnosti neutrina. Předpokládáme střední rychlost pohybu neutrin $v$.