% Hlavicka pro protokoly z fyzikalniho praktika.
% Verze pro: LaTeX
% Verze hlavicky: 22. 2. 2007
% Autor: Ustav fyziky kondenzovanych latek
% Ke stazeni: www.physics.muni.cz/ufkl/Vyuka/
% Licence: volne k pouziti, nejlepe k vcasnemu odevzdani protokolu z Vaseho mereni.

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{multicol}


% Kodovani (cestiny) v dokumentu: (doporucujeme UTF-8).
\usepackage[utf8]{inputenc}	% Doporucujeme pouzivat UTF-8 (unicode).
%\usepackage[cp1250]{inputenc}	% Omezena stredoevropska kodova stranka, pouze MSW.

%%% Nemente:
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\newtoks\jmenopraktika \newtoks\jmeno \newtoks\datum
\newtoks\obor \newtoks\rocnik \newtoks\semestr
\newtoks\cisloulohy \newtoks\jmenoulohy
\newtoks\tlak \newtoks\teplota \newtoks\vlhkost
%%% Nemente - konec.


%%%%%%%%%%% Doplnte pozadovane polozky:

\jmenopraktika={Fyzikální praktiku 2}  % nahradte jmenem vaseho predmetu
\jmeno={Radek Žemlička}            % nahradte jmenem mericiho
\datum={14.~října 2009}        % nahradte datem mereni ulohy
\obor={F}                     % nahradte zkratkou vami studovaneho oboru
\rocnik={II}                  % nahradte rocnikem, ve kterem studujete
\semestr={IV}                 % nahradte semestrem, ve kterem studujete
\cisloulohy={10}               % nahradte cislem merene ulohy
\jmenoulohy={Polarizace světla. Brownův pohyb} % nahradte jmenem merene ulohy

\tlak={855}                   % nahradte tlakem pri mereni (v hPa)
\teplota={21,5}               % nahradte teplotou pri mereni (ve stupnich Celsia)
\vlhkost={65}               % nahradte vlhkosti vzduchu pri mereni (v %)

%%%%%%%%%%% Konec pozadovanych polozek.


%%%%%%%%%%% Uzitecne balicky:
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{xspace}
\usepackage{url}
\usepackage{indentfirst}

%%%%%% Zamezeni parchantu:
\widowpenalty 10000 \clubpenalty 10000 \displaywidowpenalty 10000
%%%%%% Parametry pro moznost vsazeni vetsiho poctu obrazku na stranku
\setcounter{topnumber}{3}	  % max. pocet floatu nahore (specifikace t)
\setcounter{bottomnumber}{3}	  % max. pocet floatu dole (specifikace b)
\setcounter{totalnumber}{6}	  % max. pocet floatu na strance celkem
\renewcommand\topfraction{0.9}	  % max podil stranky pro floaty nahore
\renewcommand\bottomfraction{0.9} % max podil stranky pro floaty dole
\renewcommand\textfraction{0.1}	  % min podil stranky, ktery musi obsahovat text
\intextsep=8mm \textfloatsep=8mm  %\intextsep pro ulozeni [h] floatu a \textfloatsep pro [b] or [t]

% Tecky za cisly sekci:
% \renewcommand{\thesection}{\arabic{section}.}
% \renewcommand{\thesubsection}{\thesection\arabic{subsection}.}
% Jednopismenna mezera mezi cislem a nazvem kapitoly:
\makeatletter \def\@seccntformat#1{\csname the#1\endcsname\hspace{1ex}} \makeatother


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Zacatek dokumentu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Nemente:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}

{
\begin{center}
\sf 
{\Large Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v~Brně} \\
\bigskip
{\huge \bfseries FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM} \\
\bigskip
{\Large \the\jmenopraktika}
\end{center}

\bigskip

\sf
\noindent
\setlength{\arrayrulewidth}{1pt}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}} l l}
\large {\bfseries Zpracoval:}  \the\jmeno & \large  {\bfseries Naměřeno:} \the\datum\\[2mm]
\large  {\bfseries Obor:} \the\obor  \hspace{5mm}  %{\bfseries Ročník:} \the\rocnik 
\hspace{5mm} %{\bfseries Semestr:} \the\semestr  
&\large {\bfseries Testováno:}\\
\\
\hline
\end{tabular*}
}

\bigskip

{
\sf
\noindent \begin{tabular}{p{3cm} p{0.6\textwidth}}
\Large  Úloha č. {\bfseries \the\cisloulohy:} \par
\smallskip
$T=\the\teplota$~$^\circ$C \par
$p=\the\tlak$~hPa \par
$\varphi=\the\vlhkost$~\%
&\Large \bfseries \the\jmenoulohy  \\[2mm]
\end{tabular}
}

\vskip1cm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% konec Nemente.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Zacatek textu vlastniho protokolu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Polarizace světla}
\subsection{Měření koncentrace roztoků sacharózy sacharimetrem}
\subsubsection{Teorie a způsob měření}
	Sacharimetr je přístroj, který využívá polarizačních vlastností roztoku sacharózy k určení jeho koncentrace.  Pracuje tak, že ze zdroje monochromatického záření prochází toto záření polarizátorem a následně měřeným vzorkem, který v závislosti na koncentraci stáčí kmitovou rovinu lineárně polarizovaného světla. Světlo dále prochází přes dvojici dvojici křemenných klínů, které rovněž stáčí kmitovou rovinu lineárně polarizovaného světla a lze jimi změnou tloušťky vykompenzovat stočení způsobené vzorkem. Světlo pak dopadá na analyzátor. Lidské oko určuje nepřesně minimum osvětlení, naopak je citlivé na rozdíl jasu dvou sousedních ploch. Proto je sacharimetr opatřen polostínovým zařízením.
	Při manipulaci s kompenzátorem (měněním tloušťky křemenných destiček) můžeme odečítat jisté hodnoty ze stupnice. Přístroj je ocejchován tak, že najdeme-li polohu kompenzátoru $n_0$, pro kterou je pravá a levá část analyzátoru stejně tmavá při měření vzorku o nulové koncentraci a polohu kompenzátoru $n$, pro kterou jsou obě části analyzátoru stejně tmavé při měření vzorku o koncentraci $c$, můžeme onu koncentraci vypočítat pomocí vztahu:
	
	\begin{equation}
	 c = \frac{26}{50} (n - n_0)
	\end{equation}

\subsubsection{Měření}
	Pro měření byly připraveny tři roztoky sacharózy o koncetracích $5 \%$, $10\%$ a $15\%$. Výsledky shrnuje tabulka $\ref{sachar}$
	

% 
% 	\centering
% 	\includegraphics[scale=1,0]{obrazek.eps}
% 	\caption{Použité experimentální uspořádání Franc-Hertzova pokusu}
% 
	\begin{table}[ht]
 	\begin{center}
    	\begin{tabular}{c|c|c|c}	
$n_0[dilku]$ &$n_1[dilku]$ &$n_2[dilku]$ &$n_3[dilku]$ \\
	\hline
-0,9	&8,1	&19,8	&30,1\\
-1,1	&8,2	&20,0	&29,7\\
-0,5	&8,1	&19,9	&29,9\\
-1,1	&8,3	&20,2	&29,9\\
-1,0	&8,3	&19,8	&30,0\\
-0,9	&8,4	&20,3	&30,2\\
-1,2	&8,0	&19,7	&29,9\\


\end{tabular}
 \caption{Měření koncentrace roztoku sacharimetrem. $n_0$ odpovídá roztoku s nulovou koncentrací, $n_1$ s $5\%$ koncentrací, $n_2$ s $10\%$ koncentrací a $n_3$ s $15\%$ koncentrací.}    
 \label{sachar}
  \end{center}
\end{table}
	
Z každé naměřené hodnoty byla nejprve vypočítána koncentrace. Z hodnot vypočítaných koncentrací byl určen aritmetický průměr a směrodatná odchylka. Ta byla vynásobena studentovým koeficientem pro šet stupňů volnosti. Výsledky se spolehlovostí $68,3\%$ jsou: \newline
$c_1 = (4,76 \pm 0,05) \%$ \newline
$c_2 = (10,88 \pm 0,06) \%$\newline
$c_3 = (16,08 \pm 0,05) \%$\newline


\subsection{Určení úhlu stočení kmitové roviny pomocí polarimetru, výpočet spoecifické stáčivosti sacharózy}
\subsubsection{Teorie a způsob měření}

Polarimetr funguje podobně jako sacharimetr s tím rozdílem, že zde nejsou žádné křemenné destičky, a místo nich pouze otáčíme analyzátorem a měříme úhel polarizace. Pro jednotlivé úhly stočení platí:
\begin{equation}
 \alpha = [\alpha] cd
\end{equation}
tedy
\begin{equation}
 [\alpha] = \frac{\alpha}{cd}
 \label{spec}
\end{equation}

kde $[\alpha]$ je specifická stáčivost, $c$ koncentrace a $d$ délka kyvety.


\subsubsection{Měření}
Měření úhlu stočení roviny shrnuje tabulka $\ref{pol}$. 

\begin{table}[ht]
 	\begin{center}
    	\begin{tabular}{c|c|c|c}	
$\alpha_0$ &$\alpha_1'$ &$\alpha_2'$ &$\alpha_3'$ \\
	\hline
-0,45	&2,70	&6,80	&10,10\\
-0,45	&2,75	&6,90	&10,10\\
-0,45	&2,70	&6,80	&10,10\\
-0,45	&2,70	&6,85	&10,10\\
-0,45	&2,70	&6,80	&10,05\\
-0,50	&2,70	&6,85	&10,10\\
-0,50	&2,70	&6,80	&10,10\\


\end{tabular}
 \caption{Měření úhlu stočení kmitové roviny pomocí polarimetru $\alpha_0$ odpovídá roztoku s nulovou koncentrací, $\alpha_1$ s $5\%$ koncentrací, $\alpha_2$ s $11\%$ koncentrací a $n_3$ s $16\%$ koncentrací.}    
 \label{pol}
  \end{center}
\end{table}

Z hodnot uvedených v tabulce $\ref{pol}$ byly vypočítány úhly stočení roviny $\alpha$ ($\alpha_i = \alpha_i' - \alpha_0$). 

Z těchto hodnot byl určen aritmetický průměr a směrodatná odchylka. Ta byla vynásobena studentovým koeficientem pro šet stupňů volnosti. Výsledky se spolehlovostí $68,3\%$ jsou: \newline
$\alpha_1 = (3,17 \pm 0,01)^\circ$ \newline
$\alpha_2 = (7.29 \pm 0,02)^\circ$ \newline
$\alpha_3 = (10,56 \pm 0,01)^\circ$ \newline

Pro výpočet specifické stáčivostí byl použit vztah $\ref{spec}$ a hodnoty $\alpha_i$ a $c_i$ měřené a vypočítané v tomto praktiku. Délak kyvety $d = 0,1 m$. Dosazením těchto hodnot do vztahu $\ref{spec}$ a na základě zákona přenosu chyb byly pro jednotlivé koncentrace vypočítány následující hodnoty specifické stáčivosti: \newline
$[\alpha]_1 = (666 \pm 3)deg\cdot cm^3 \cdot m^{-1} \cdot g^{-1}$ \newline
$[\alpha]_2 = (670 \pm 2)deg\cdot cm^3 \cdot m^{-1} \cdot g^{-1}$ \newline
$[\alpha]_3 = (656,7 \pm 0,6)deg\cdot cm^3 \cdot m^{-1} \cdot g^{-1}$ \newline		


\section{Borwnův pohyb}
\subsection{Teorie a způsob měření}
Pozorujeme-li v kapalině částici dostateně malou na to, aby v každém okamžiku nebyly kompenzovány impulzy sil, kterými na částici působí molekuly vody, pak můžeme pozorovat neustálou chaotickou změnu polohy částice. Tento jev se nazývá Brownův pohyb.  Jedná se  pohyb, který se řídí Einsteinovým zákonem. Pro střední kvadratické posunutí částice $ \langle x^2 \rangle$ platí:
\begin{equation}
 \langle x^2 \rangle = \frac{2RT}{6 \pi \eta rN}t
\end{equation}
kde jsou  $\eta$ - viskozita kapaliny $N$ - Avogradrovo číslo, $T$ - absolutní teplota kapaliny, $R$ - univerzální plynová konstanta, $t$ - čas a $r$ - poloměr částice. Označíme-li si symbolem $\langle L^2 \rangle$ střední kvadratickou vzdálenost mezi polohou částice a polohou téže částice po uplynutí vždy konstantně dlouhé doby,  platí pro poloměr částice vztah:
\begin{equation}
 r = \frac{2RTt}{6 \pi \eta N \langle L^2 \rangle}
\label{polomer}
\end{equation}
Zároveň, jsou-li $t_1$, $t_2$ a $t_3$ časové úseky, jejichž poměr délek  $t_1 : t_2  : t_3 = 1:2:3$ a je-li $\langle L_t^2 \rangle$  střední kvadratickou vzdálenost mezi polohou částice a polohou téže částice po uplynutí doby $t$, pak platí:
\begin{equation}
 \langle L_{t_1}^2 \rangle :  \langle L_{t_2}^2 \rangle : \langle L_{t_3}^2 \rangle = 1:2:3
\label{pomery}
\end{equation}

\subsection{Měření}
 Pomocí televizní obrazovky připojené k mikroskopu byl na  papír  zaznamenán pohyb molekuly takovým způsobem, že vždy po uplynutí doby $5,0s$ byla zaznamenána poloha částice jako bod a úsečkou spojena s do té doby posledním bodem .  Tento papír je přiložený k protokolu. 

Nejprve byla byla ověřována platnost vztahu $\ref{pomery}$. Byly měřeny vzdálenosti poloh bodu $L_1$, $L_2$ a $L_3$ v časových rozestupech $5s$, $10s$ a $15s$. Vzdálenst byla měřena v jednotkách $j$, kdy $126 j = 50 \mu m$  Naměřené hodnoty pro částice 1, 2, 3 shrnují tabulky $\ref{c1}$, $\ref{c2}$, $\ref{c3}$\\

Pro částici 1 vychází poměry\\
 $\langle L_{1}^2 \rangle :  \langle L_{2}^2 \rangle : \langle L_{3}^2 \rangle = 137:262:392 = 1:1,91:2.86 $\\

Pro částici 2:\\
$\langle L_{1}^2 \rangle :  \langle L_{2}^2 \rangle : \langle L_{3}^2 \rangle =312	:579:	908 = 1:1,86:2,91$\\


Pro částici 3:\\
$\langle L_{1}^2 \rangle :  \langle L_{2}^2 \rangle : \langle L_{3}^2 \rangle =468	:528	:810= 1:1,12:1,73$\\

Pro každou částici byl vypočítán její poloměr pomocí vztahu $\ref{polomer}$, kdy  $N=6,022\cdot 10^{23} mol^{-1}$, $R=8,31 J\cdot mol^{-1}K^{-1}$, $T=294K$, $\eta =0,963\cdot 10^{-3}kg\cdot m^{-1}s^{-1}$:\\
\\
$r_1 = (8,8 \pm 0,2) \cdot 10^{-8} m$\\
$r_2 = (3,8 \pm 0,7) \cdot 10^{-8} m$\\
$r_3 = (2,5 \pm 0,9) \cdot 10^{-8} m$\\

\begin{table}[ht]
 	\begin{center}
    	\begin{tabular}{c|c|c||c|c|c||c|c|c}
$L_1 [j]$& $L_2 [j]$&$L_3 [j]$& $L_1 [j]$&	$L_2 [j]$&$L_3 [j]$&$L_1 [j]$&	$L_2 [j]$&$L_3 [j]$\\
\hline
19	&6	&7	&4	&19	&7	&13	&17	&23\\
25	&21	&23	&5	&29	&9	&5	&9	&9\\
2	&22	&28	&9	&19	&16	&1	&19	&2\\
20	&29	&29	&12	&5	&21	&3	&5	&5\\
17	&18	&29	&19	&10	&33	&10	&18	&17\\
3	&4	&5	&3	&21	&5	&7	&12	&12\\
3	&4	&5	&17	&19	&29	&5	&13	&9\\
2	&20	&3	&19	&5	&33	&5	&25	&9\\
1	&17	&2	&14	&18	&24	&5	&6	&9\\
30	&33	&52	&4	&28	&7	&10	&13	&17\\
31	&5	&54	&11	&31	&19	&6	&8	&10\\
3	&6	&5	&11	&14	&19	&13	&9	&23\\
1	&15	&2	&14	&17	&24	&6	&7	&10\\
13	&20	&23	&4	&4	&7&	9	&11	&16\\
7	&4	&12	&2	&3	&3	&6	&7	&10\\
18	&15	&31	&4	&19	&7	&2	&6	&10\\
15	&13	&26	&12	&14	&21	&4	&7	&14\\
5	&24	&9	&20	&2	&35	&7	&11	&15\\
7	&6	&12	&12	&21	&21	&8	&10& \\	
10	&19	&17	&3	&21	&5	&6	& & \\


\end{tabular}
 \caption{Vzdálenosti mezi jednotlivými polohami částice 1. }    
 \label{c1}
  \end{center}
\end{table}

\begin{table}[ht]
 	\begin{center}
    	\begin{tabular}{c|c|c}
$L_1 [j]$& $L_2 [j]$&$L_3 [j]$\\
\hline
15	&16	&16\\
24	&21	&29\\
3	&14	&28\\
17	&31	&34\\
26	&30	&42\\
4	&2	&27\\
3	&25	&37\\
24	&35	&39\\
18	&15	&11\\
20	&29	&27\\
21	&38	&43\\
28	&35	&37\\
9	&9	&15\\
4	&6	&18\\
9	&15& \\	
22	& & \\	
\end{tabular}
 \caption{Vzdálenosti mezi jednotlivými polohami částice 2. }    
 \label{c2}
  \end{center}
\end{table}
\clearpage
\begin{table}[ht]
 	\begin{center}
    	\begin{tabular}{c|c|c}
$L_1 [j]$& $L_2 [j]$&$L_3 [j]$\\
\hline
13	&17	&27\\
8	&17	&10\\
10	&11	&44\\
21	&24	&24\\
49	&38	&56\\
25	&30	&17\\
19	&25	&25\\
38	&35	&19\\
10	&21	&24\\
15	&17	&19\\
5	&6&	15\\
2&	10	&\\
11	& & \\	
\end{tabular}
 \caption{Vzdálenosti mezi jednotlivými polohami částice 3. }    
 \label{c3}
  \end{center}
\end{table}


\section{Závěr}

Byla měřena koncentrace roztoku sacharózy sacharimetrem. Měření bylo velmi přesné. Avšak, vzhledem k tomu, že roztok sacharózy byl připravován méně přesnou metodou, a na roztoku nebylo prováděno žádné další měření, nelze s jistotou prohlásit, že měření nebylo zatíženo žádnou systematickou chybou. Nicméně výsledky mohou dost dobře odpovídat skutečnosti a proto měření můžeme považovat za úspěšné. 

Dále bylo určeno stočení kmitové roviny pomocí polarimetru a vypočítána specifická stáčivost sacharózy. Tabulková hodnota pro $[\alpha] = (664,35 + 0,087c)^{\circ} m^{-1}$ což vzhledem k nepřesnosti měření odpovídá vždy hodnotě $[\alpha] = 665^\circ m^{-1}$. Tato hodnota se shoduje pouze s hodnotou $[\alpha_1]$.  Vzhledem k tomu že zbylé dva výsledky se liší o hodny, které mnohokrát převyšují jejich chybu, je na místě předpokládat, že  měření použitými přístroji může být zatíženo systematickou chybou. 

Analýzou Brownova pohybu byly určovány poloměry částic v kapalině. Vzhledem k tomu, že nemáme možnost zjistit skutečnou hodnotu poloměrů pozorovaných částic, můžeme alespoň konstatovat, že námi získané výsledky jsou reálné. 

Dále byl ověřován vztah $\ref{pomery}$ pro střední kvadratické vzdálenosti.  U první a druhé částice je shoda s teoretickou předpovědí zřejmá. U třetí částice se výsledky s předpovědí neshodují. Zde však bylo naměřeno velmi málo hodnot a navíc se částice začala výrazně pohybovat i ve směru kolmém s podložkou, čímž se na obrazovce ztrácela a proto je možné, že mohla být několikrát zaměněna i s jinou částicí. V případě čtvrté a páté částice bylo získáno tak málo záznamů o poloze, že by výsledky nebyly relevantní a proto s nimi vůbec nebylo počítáno. 

Měření můžeme považovat za úspěšné.

% Nakonec nezapomeňte projet text programem vlna nebo vlnka, např.
% 	vlna -m -l -n mojeuloha.tex
% nebo zkontrolovat a opravit jednopísmenné předložky na koncích řádků ručně.


\end{document}





