% Hlavicka pro protokoly z fyzikalniho praktika.
% Verze pro: LaTeX
% Verze hlavicky: 22. 2. 2007
% Autor: Ustav fyziky kondenzovanych latek
% Ke stazeni: www.physics.muni.cz/ufkl/Vyuka/
% Licence: volne k pouziti, nejlepe k vcasnemu odevzdani protokolu z Vaseho mereni.

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{multicol}


% Kodovani (cestiny) v dokumentu: (doporucujeme UTF-8).
\usepackage[utf8]{inputenc}	% Doporucujeme pouzivat UTF-8 (unicode).
%\usepackage[cp1250]{inputenc}	% Omezena stredoevropska kodova stranka, pouze MSW.

%%% Nemente:
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\newtoks\jmenopraktika \newtoks\jmeno \newtoks\datum
\newtoks\obor \newtoks\rocnik \newtoks\semestr
\newtoks\cisloulohy \newtoks\jmenoulohy
\newtoks\tlak \newtoks\teplota \newtoks\vlhkost
%%% Nemente - konec.


%%%%%%%%%%% Doplnte pozadovane polozky:

\jmenopraktika={Fyzikální praktiku 2}  % nahradte jmenem vaseho predmetu
\jmeno={Radek Žemlička}            % nahradte jmenem mericiho
\datum={26.~listopadu 2009}        % nahradte datem mereni ulohy
\obor={F}                     % nahradte zkratkou vami studovaneho oboru
\rocnik={II}                  % nahradte rocnikem, ve kterem studujete
\semestr={IV}                 % nahradte semestrem, ve kterem studujete
\cisloulohy={9}               % nahradte cislem merene ulohy
\jmenoulohy={Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Měření indexu lomu refraktometrem} % nahradte jmenem merene ulohy

\tlak={855}                   % nahradte tlakem pri mereni (v hPa)
\teplota={21,5}               % nahradte teplotou pri mereni (ve stupnich Celsia)
\vlhkost={65}               % nahradte vlhkosti vzduchu pri mereni (v %)

%%%%%%%%%%% Konec pozadovanych polozek.


%%%%%%%%%%% Uzitecne balicky:
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{xspace}
\usepackage{url}
\usepackage{indentfirst}

%%%%%% Zamezeni parchantu:
\widowpenalty 10000 \clubpenalty 10000 \displaywidowpenalty 10000
%%%%%% Parametry pro moznost vsazeni vetsiho poctu obrazku na stranku
\setcounter{topnumber}{3}	  % max. pocet floatu nahore (specifikace t)
\setcounter{bottomnumber}{3}	  % max. pocet floatu dole (specifikace b)
\setcounter{totalnumber}{6}	  % max. pocet floatu na strance celkem
\renewcommand\topfraction{0.9}	  % max podil stranky pro floaty nahore
\renewcommand\bottomfraction{0.9} % max podil stranky pro floaty dole
\renewcommand\textfraction{0.1}	  % min podil stranky, ktery musi obsahovat text
\intextsep=8mm \textfloatsep=8mm  %\intextsep pro ulozeni [h] floatu a \textfloatsep pro [b] or [t]

% Tecky za cisly sekci:
% \renewcommand{\thesection}{\arabic{section}.}
% \renewcommand{\thesubsection}{\thesection\arabic{subsection}.}
% Jednopismenna mezera mezi cislem a nazvem kapitoly:
\makeatletter \def\@seccntformat#1{\csname the#1\endcsname\hspace{1ex}} \makeatother


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Zacatek dokumentu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Nemente:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}

{
\begin{center}
\sf 
{\Large Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v~Brně} \\
\bigskip
{\huge \bfseries FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM} \\
\bigskip
{\Large \the\jmenopraktika}
\end{center}

\bigskip

\sf
\noindent
\setlength{\arrayrulewidth}{1pt}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}} l l}
\large {\bfseries Zpracoval:}  \the\jmeno & \large  {\bfseries Naměřeno:} \the\datum\\[2mm]
\large  {\bfseries Obor:} \the\obor  \hspace{5mm}  %{\bfseries Ročník:} \the\rocnik 
\hspace{5mm} %{\bfseries Semestr:} \the\semestr  
&\large {\bfseries Testováno:}\\
\\
\hline
\end{tabular*}
}

\bigskip

{
\sf
\noindent \begin{tabular}{p{3cm} p{0.6\textwidth}}
\Large  Úloha č. {\bfseries \the\cisloulohy:} \par
\smallskip
$T=\the\teplota$~$^\circ$C \par
$p=\the\tlak$~hPa \par
$\varphi=\the\vlhkost$~\%
&\Large \bfseries \the\jmenoulohy  \\[2mm]
\end{tabular}
}

\vskip1cm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% konec Nemente.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Zacatek textu vlastniho protokolu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Justace hranolu a měření lámavého úhlu}
\subsection{Teorie a způsob měření}
Justace  hranolu byla provedena následovně: Na goniometru byl položen hranol. Ten byl osvětlen pomocí kolimátoru rovnoběžným svazkem paprsků a pozorován dalekohledem. V dalekohledu byl vidět kromě nitkového (zaměřovacího) kříže také jeho obraz odražený od hranolu. Hranol byl pak vyvažován tak, aby horizontální složky obou křížů splynuly, a to při pohledu jak na jednu, tak na druhou stranu hranolu.

Po provedení justace hranolu je možné měřit lámavý úhel. Ten určíme tak, že budeme pozorovat dvě plochy hranolu tím samým zařízením, kterým se prováděla justace. Tentokrát však necháme splynou oba celé kříže v jeden a odečteme úhel, pod kterým stěny hranol takto pozorujeme. Není důležité kde začíná naše souřadná soustava, protože nás zajímá pouze rozdíl těchto dvou úhlů $\psi_1$ a $\psi_2$ . Pro lámavý úhel $\omega$ platí:
\begin{equation}
 \omega = 180^\circ -(\psi_1 - \psi_2)
\end{equation}

\subsection{Měření}
Měření bylo provedeno pro vedeno pětkrát pro souřadné soustavy s různým počátkem. Viz tabulku $\ref{omega}$. Z naměřených hodnot bylo vypočítáno: \\

$\omega = 60^\circ 00' 04'' \pm 0^\circ 00' 04''$\\


\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
 \hline
$\psi_1 [^\circ : ' : '']$&$\psi_2 [^\circ : ' : '']$&$\omega [^\circ : ' : '']$\\
\hline
63:33:34	&303:33:34	&60:00:00\\
63:33:32	&303:33:36	&60:00:04\\
63:33:30	&303:33:36	&60:00:06\\
63:33:32	&303:33:39	&60:00:07\\
63:33:32	&303:33:36	&60:00:04\\
\hline
\end{tabular}
 \caption{Měření lámavého úhlu}    
 \label{omega}
  \end{center}
\end{table}


\section{Měření indexu lomu skla metodou minimální deviace pro různé spektrální čáry}
\subsection{Teorie a způsob měření}
 Pro každou ze spektrálních čar je nutné postupně hranol nastavit do polohy minimální deviace. Stolkem goniometru otáčímé a dalekohledem pozorujeme, že směr otáčení stolku je souhlasný se směrem otáčení čárového spektra. V určitém místě se spektrum zastaví a pak se pohybuje opačným směrem. Bod obratu odpovídá minimální deviaci $\delta_m$ pro vybranou spektrální čáru. Měření se  provádí ve dvou souměrných polohách hranolu, viz obrázek $\ref{hranol}$.
\begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[scale=0.25]{hranol.eps}
	\caption{Měření indexu lomu skla metodou minimální deviace}
	\label{hranol}
\end{figure}


Pro minimální deviaci $\delta m$ spektrální čáry o vlnové délce $\lambda_i$  platí:
\begin{equation}
(\delta_m)_{\lambda_i} = \frac{(\psi_1)_{\lambda_i} - (\psi_2)_{\lambda_i}}{2}
\end{equation}
Známe-li velikost lámavého úhlu hranolu a minimální deviaci  pro danou vlnovou délku, můžeme pro tuto vlnovou délku vypočítat index lomu podle následujícího vztahu:

\begin{equation}
 n = \frac{\sin \left( \frac{\delta_m}{2} + \frac{\omega}{2} \right)}{\sin \left( \frac{\omega}{2} \right)}
\end{equation}

\subsection{Měření}
Při měření byl použit hranol z předchozího měření a rtuťová zářivka. Měření shrnuje tabulka $\ref{deviace}$


\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
 \hline
$\lambda [nm]$&$\psi_1 [^\circ : ' : '']$&$\psi_2 [^\circ : ' : '']$&$\delta_m [^\circ : ' : '']$&$	n$\\
\hline
623,4	&135:22:04	&39:27:53	&47:57:05,50	&1,79881\\
579,1	&135:40:55	&39:08:39	&48:16:08,00	&1,80409\\
546,1	&136:00:28	&38:49:06	&48:35:41,00	&1,80952\\
491,6	&136:42:41	&38:07:52	&49:17:24,50	&1,82110\\
435,8	&137:47:04	&37:02:42	&50:22:11,00	&1,83908\\
404,6	&138:38:18	&36:09:43	&51:14:17,50	&1,85354\\
\hline
\end{tabular}
 \caption{Měření indexu lomu skla}    
 \label{deviace}
  \end{center}
\end{table}

\section{Určení materiálové konstanty, disperzní křivka}
Všechny látky vykazují  závislost lomu na vlnové délce světla $\lambda$. Tato závislost se nazývá disperze. V oblasti normální disperze je tato závislost popsána vztahem:
\begin{equation}
 n = A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4}+ ...
\end{equation}
kde $A$, $B$, $C$ jsou materiálové konstanty. Ke studiu disperze byl použit hranol z předchozích měření. Tabulka $\ref{deviace}$ nám tedy poskytuje údaje o závislosti indexu lomu na vlnové délce. Tyto hodnoty byly vyneseny do následujícího grafu na obrázku $\ref{graf}$
\begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[scale=0.65,angle = -90]{graf.eps}
	\caption{Disperzní křivka je polynom druhého řádu, kde $x = \frac{1}{\lambda^2}$ Bylo vypočítáno:$ y = 1,1786 + 0,0101 x + 0.0006 x^2$}
	\label{graf}
\end{figure}

Pomocí programu Microcal Origin byl graf numericky fitován polynomem. Z tohoto polynomu byly určeny materiálové konstanty:\\
$A=1,7686 \pm 0,0007$\\
$B=0,0101 \pm 0,0003$\\
$C=0.00062 \pm 0,00004$\\


\section{Určení indexu lomu dvou kapalin abbého refraktometrem}

\subsection{Teorie a způsob měření}
Abbého kulový refraktometr využívá toho, že při osvětlení horní části polokoule se světelné paprsky dostanou jen do jisté  části polokoule. Z vrcholového úhlu je možné určit index lomu zkoumané látky. Úhel byl určen dalekohledem, kterým bylo možno posouvat po povrchu polokoule. Nitkovým křížem byla určena hranice světla a tmy. U abbého refraktometru se tedy využívá Snellova zákona:
\begin{equation}
 \frac{n_1}{n_2} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}
\end{equation}
Z postavení skla refraktometru je jasné, že $\alpha=90^\circ$ u všech měření. Pro všechny prostředí (a) tedy platí:
\begin{equation}
 n_r = \frac{n_a}{\sin\beta_a}
\end{equation}
kde $n_r$ je index lomu skla refraktometru, $n_a$ je index lomu prostředí (a) a  $\beta_a$ je mezní úhel pro prostředí (a). Pokud tedy na refraktometru změříme mezní úhly pro dvě prostředí(k,l) a budeme znát index lomu jednoho z nich, potom můžeme určit i index lomu druhého podle vztahu:
\begin{equation}
 n_k = n_l \cdot \frac{\sin\beta_k}{\sin\beta_l}
\end{equation}
využijeme tohoto vztahu a jako první prostředí si zvolíme vzduch, kde víme, že index lomu vzduchu se příliš neliší od indexu lomu vakua$(n_{vakua}=1)$. Index lomu vzduchu $n_v$ položíme tedy roven $1$. Vztah (2) potom bude vypadat takto:
\begin{equation}
 n_a = \frac{\sin\beta_a}{\sin\beta_v}
\end{equation}
kde  $\beta_v$ je mezní úhel pro vzduch a $\beta_a$ mezní úhel pro prostředí (a).

\subsection{Měření}

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
 \hline
$\beta_{vzduch}[^\circ : ']$&$\beta_{C_3H_8O}[^\circ : ']$&$\beta_{H_2O}[^\circ : ']$& $n_{C_3H_8O}$& $n_{H_2O}$\\
\hline
34:12  		&51:00  	&49:00 &1,491	&1,433\\
34:35  		&51:15  	&49:10 & 1,482	&1,422\\
35:39  		&52:16  	&50:10 &1,466	&1,407 \\
36:35  		&53:08  	&51:08 &1,452	&1,398 \\
36:18  		&52:49  	&50:45  &1,455	&1,398\\
\hline
\end{tabular}
 \caption{Měření indexu lomu dvou kapalin abbého refraktometrem}    
 \label{abbe}
  \end{center}
\end{table}

Měření shrnuje tabulka $\ref{abbe}$. Z naměřených hodnot bylo vypočítáno:\\
$\beta_{vzduch} = 35^\circ 27' \pm 28'$\\
$\beta_{C_3H_8O} = 52^\circ 05' \pm 25'$\\
\underline{$\beta_{H_2O} = 50^\circ 02' \pm 25'$}\\
$n_{C_3H_8O} = 1,47 \pm 0,01$\\
$n_{H_2O} = 1,41 \pm 0,01$\\

Dále byl měřen index lomu vody a isopropylalkoholu v dvouhranolovém refraktometru.\\
$n_{C_3H_8O} = 1,377 \pm 0,001$\\
$n_{H_2O} = 1,333 \pm 0,001$\\
	

\section{Závěr}
Metodou nitkového kříže jsem změřil lámavý úhel hranolu. Naměřil jsem $\omega = 60^\circ 00' 04'' \pm 0^\circ 00' 04''$, což velice dobře odpovídá tomu, že hranol měl být rovnostranný. Metodou minimální deviace byl měřenen lomu skla nejméně pro šest spektrálních čáry rtuti.Index lomu hranolu je podle očekávání vyšší pro el. mag. vlnění s nižší vlnovou délkou. Měření pomocí automatického refraktometru odpovídá tabulkovým hodnotám, avšak měření pomocí Abbého kulového refraktometru nikoli. Důvod je pravděpodobně v systematické chybě způsobené špatným stavem přístroje.




\end{document}
