Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM

Fyzikální praktiku 3

Zpracoval: Radek Žemlička  Naměřeno: 2. dubna 2009
Obor: F Ročník: II Semestr: IV  Testováno:

Úloha č. 5:  Šířka pásu zakázaných energií v polovodičích

1. Teorie

Šířka pásu zakázaných energií elektronu v látce E_{g} je jednou z charakteristik, podle které rozlišujeme látky na kovy, polovodiče a dielektrika. Elektron v libovolné pevné látce může nabývat pouze určitých hodnot. Dovolené hodnoty energie se shlukují do intervalů, kterým říkáme energiové pásy. Z hlediska rozdělení látek do výše zmíněných tří skupin nás zajímají pouze dva pásy s vysokými hodnotami energie. Je to tzv. valenční pás a vodivostní pás. Viz schéma na obrázku 1 .

Obrázek 1: Pásové schéma polovodiče. E_{c} je energie dna vodivostního pásu, E_{v} energie stropu valenčního pásu, E_{f} energie tzv. Fermiho hladiny a E_{g} šířka zakázaného pásu

Aby látka mohla vést proud, musí v ní mít některé elektrony možnost pohybovat se volně v pásu energií, ve kterém se zrovna nachází. Tuto možnost má pouze v případě, není-li daný pás bezezbytku zaplněn elektrony. (V každém pásu se totiž může vyskytovat pouze omezený počet elektronů). Dielektrika mají valenční pás zcela zaplněn. Vodivostní pás je sice neobsazen, ale ”energiová“ vzdálenost mezi těmito dvěma pásy (tedy šířka zakázaného pásu E_{g} ) je natolik velká, že ji elektrony nemohou za běžných podmínek překonat. U kovů je naopak E_{g} nulová a elektrony mají dost volných stavů, aby se mohli pohybovat a podílet se na elektrické vodivosti. Konečně u polovodičů, je šířka zakázaného pásu nenulová, avšak dostatečně malá na to, aby mohlo docházet k přechodu elektronů z valenčního do vodivostního pásu.

U polovodičů existuje další typ vodivosti. Tím je například děrový, kdy se postupně zaplňují volná místa ve valenčním pásu elektrony ve smeru k nižšímu potenciálu. Šířku zakázaného pásu můžeme zjišt’ovat u polovodičů například na PN přechodu pomocí fotoelektrického jevu. V oblasti PN přechodu dochází k vytvoření prostorového náboje díky přesunům elektronů a děr. Vznikne tu tedy nenulové elektrické pole. Pokud dopadající fotony mají energii větší než šířka zakázaného pásu, elektrony mohou přecházet z valenčního do vodivostního pásu. Díky elektrickému poli se náboje rozdělují, čímž se ale mění prostorový náboj a také elektrické pole. Na PN přechodu se pak objevuje fotonapětí, které závisí na intenzitě záření. Záření o různých vlnových délkách se absorbuje v různé hloubce. Absorpce záření je popsána vztahem

I(x) = I_{0}Re^{−ax}  (1)

kde I(x) je intenzita záření v hloubce x, R optická odrazivost, a α koeficient absorbce, který je závislý na na vlnové délce (s jejím růstem klesá).

2. Měření

2.1. Způsob měření

Měření bylo provedeno s křemíkovou a germaniovou fotodiodou. Na diodu dopadalo světlo ze žárovky rozkládané otočným hranolem. Napětí diody bylo měřeno voltmetrem. Vzhledem k použité optické soustavě byla vlnová délka určena polohou mikrometrického šroubu, jehož otáčením byl hranol nastavován. Měřena tedy byla poloha mikrometrického šroubu a napětí na diodě.

Šířka zakázaného pásu E_{g} se určuje z tzv. spektrální závislosti fotonapětí připadajícího na jeden foton S(λ) , s čímž rozumíme závislost podílu měřeného fotonapětí U(λ) a počtu N(λ) dopadajících fotonů na vlnové délce:

S(λ) = \frac{U(λ)}{N(λ)}  (2)

2.2. Naměřené hodnoty a jejich zpracování

Byla měřena závislost napětí U na poloze hranolu d. Polohu hranolu d je možné přepočítat na vlnovou délku, pomocí tabulky uvedené v návodu. Z této tabulky byl numericky (metodou interpolace spline – funkcemi ) vypořítán následující interpolační polynom, který byl dále užíván, jako převodní vztah:

λ(d) = −1, 20d^{5} + 6.35d^{4} − 1, 34d^{3} + 1, 41d^{2} − 7, 34d + 1, 54  (3)

Z další tabulky uvedené v návodu byl pomocí programu SciDavis numericky vytvořeny interpolační polynomy aproximující vztah pro závislost počtu dopadajících fotonů na vlnové délce:

N(λ) = \{ \begin{matrix}−5, 79 · 10^{−9}λ^{3} + 2, 42 · 10^{−5}λ^{2} − 2, 33 · 10^{−2}λ + 6, 84, & λ ∈ (700, 1050) \\ 3, 41 · 10^{−8}λ^{3} − 1, 42 · 10^{−4}λ^{2} + 0, 19λ − 85, 3, & λ ∈ (1050, 1300) \\ 2, 49 · 10^{−10}λ^{3} − 2, 07 · 10^{−6}λ^{2} + 2, 60 · 10^{−3}λ + 2, 83, & λ ∈ (1300, 2000) \end{matrix}  (4)

2.2..1 Tabulky a grafy shrnující měření

\begin{matrix}d[mm] & U[mV] & λ[nm] & N[10^{−16}] & E[eV] & S[10^{−18}V \\ 9,85 & 0,090 & 2111,70 & 1,43 & 0,59 & 0,0627 \\ 9,98 & 0,095 & 2000,26 & 1,74 & 0,62 & 0,0546 \\ 10,03 & 0,100 & 1957,67 & 1,85 & 0,63 & 0,0539 \\ 10,06 & 0,105 & 1932,20 & 1,92 & 0,64 & 0,0546 \\ 10,14 & 0,110 & 1864,71 & 2,10 & 0,67 & 0,0525 \\ 10,16 & 0,115 & 1847,94 & 2,14 & 0,67 & 0,0538 \\ 10,20 & 0,120 & 1814,54 & 2,22 & 0,68 & 0,0541 \\ 10,21 & 0,125 & 1806,22 & 2,24 & 0,69 & 0,0558 \\ 10,22 & 0,130 & 1797,91 & 2,26 & 0,69 & 0,0575 \\ 10,23 & 0,135 & 1789,62 & 2,28 & 0,69 & 0,0592 \\ 10,25 & 0,140 & 1773,07 & 2,32 & 0,70 & 0,0603 \\ 10,27 & 0,145 & 1756,57 & 2,36 & 0,71 & 0,0615 \\ 10,29 & 0,150 & 1740,13 & 2,40 & 0,71 & 0,0625 \\ 10,30 & 0,155 & 1731,94 & 2,42 & 0,72 & 0,0641 \\ 10,31 & 0,160 & 1723,76 & 2,44 & 0,72 & 0,0657 \\ 10,32 & 0,165 & 1715,59 & 2,46 & 0,72 & 0,0672 \\ 10,33 & 0,170 & 1707,44 & 2,47 & 0,73 & 0,0687 \\ 10,34 & 0,175 & 1699,30 & 2,49 & 0,73 & 0,0702 \\ 10,35 & 0,180 & 1691,18 & 2,51 & 0,73 & 0,0717 \\ 10,36 & 0,185 & 1683,08 & 2,53 & 0,74 & 0,0731 \\ 10,37 & 0,190 & 1674,99 & 2,55 & 0,74 & 0,0746 \\ 10,38 & 0,195 & 1666,92 & 2,57 & 0,74 & 0,0760 \\ 10,39 & 0,200 & 1658,87 & 2,58 & 0,75 & 0,0774 \\ 10,40 & 0,205 & 1650,84 & 2,60 & 0,75 & 0,0788 \\ 10,40 & 0,210 & 1650,84 & 2,60 & 0,75 & 0,0807 \\ 10,41 & 0,215 & 1642,82 & 2,62 & 0,75 & 0,0821 \\ 10,42 & 0,220 & 1634,82 & 2,64 & 0,76 & 0,0835 \\ 10,43 & 0,225 & 1626,84 & 2,65 & 0,76 & 0,0848 \\ 10,44 & 0,230 & 1618,87 & 2,67 & 0,77 & 0,0861 \\ 10,44 & 0,235 & 1618,87 & 2,67 & 0,77 & 0,0880 \\ 10,44 & 0,240 & 1618,87 & 2,67 & 0,77 & 0,0899 \\ 10,45 & 0,245 & 1610,93 & 2,69 & 0,77 & 0,0912 \\ 10,45 & 0,250 & 1610,93 & 2,69 & 0,77 & 0,0930 \\ 10,46 & 0,255 & 1603,00 & 2,70 & 0,77 & 0,0943 \\ 10,47 & 0,260 & 1595,10 & 2,72 & 0,78 & 0,0956 \\ 10,47 & 0,265 & 1595,10 & 2,72 & 0,78 & 0,0974 \\ 10,50 & 0,265 & 1571,50 & 2,77 & 0,79 & 0,0957 \\ 10,51 & 0,265 & 1563,67 & 2,79 & 0,79 & 0,0951 \\ 10,53 & 0,260 & 1548,08 & 2,82 & 0,80 & 0,0923 \\ 10,54 & 0,255 & 1540,31 & 2,83 & 0,81 & 0,0900 \\ 10,55 & 0,250 & 1532,57 & 2,85 & 0,81 & 0,0877 \\ 10,56 & 0,250 & 1524,85 & 2,86 & 0,81 & 0,0873 \\ 10,57 & 0,248 & 1517,15 & 2,88 & 0,82 & 0,0861 \\ 10,58 & 0,247 & 1513,30 & 2,89 & 0,82 & 0,0856 \\ 10,58 & 0,249 & 1509,47 & 2,89 & 0,82 & 0,0860 \\ 10,59 & 0,250 & 1501,81 & 2,91 & 0,83 & 0,0859 \\ 10,60 & 0,252 & 1497,99 & 2,92 & 0,83 & 0,0864 \\ 10,60 & 0,252 & 1494,18 & 2,92 & 0,83 & 0,0862 \\ 10,61 & 0,253 & 1486,57 & 2,94 & 0,83 & 0,0861 \\ 10,62 & 0,257 & 1478,98 & 2,95 & 0,84 & 0,0870 \\ 10,63 & 0,260 & 1471,42 & 2,97 & 0,84 & 0,0876 \\ 10,64 & 0,262 & 1463,87 & 2,98 & 0,85 & 0,0879 \end{matrix}

\begin{matrix}d[mm] & U[mV] & λ[nm] & N[10^{−16}] & E[eV] & S[10^{−18}V \\ 10,65 & 0,263 & 1456,36 & 3,00 & 0,85 & 0,0878 \\ 10,66 & 0,264 & 1448,87 & 3,01 & 0,86 & 0,0877 \\ 10,67 & 0,262 & 1441,40 & 3,02 & 0,86 & 0,0867 \\ 10,68 & 0,261 & 1433,95 & 3,04 & 0,86 & 0,0860 \\ 10,69 & 0,260 & 1426,54 & 3,05 & 0,87 & 0,0853 \\ 10,70 & 0,258 & 1419,14 & 3,06 & 0,87 & 0,0842 \\ 10,72 & 0,255 & 1404,43 & 3,09 & 0,88 & 0,0826 \\ 10,76 & 0,250 & 1375,32 & 3,14 & 0,90 & 0,0797 \\ 10,78 & 0,245 & 1360,93 & 3,16 & 0,91 & 0,0775 \\ 10,80 & 0,240 & 1346,65 & 3,19 & 0,92 & 0,0753 \\ 10,82 & 0,235 & 1332,48 & 3,21 & 0,93 & 0,0732 \\ 10,83 & 0,230 & 1325,44 & 3,22 & 0,94 & 0,0714 \\ 10,85 & 0,220 & 1311,44 & 3,24 & 0,95 & 0,0679 \\ 10,93 & 0,210 & 1256,64 & 3,11 & 0,99 & 0,0676 \\ 11,00 & 0,200 & 1210,33 & 2,89 & 1,02 & 0,0691 \\ 11,04 & 0,190 & 1184,60 & 2,81 & 1,05 & 0,0677 \\ 11,09 & 0,180 & 1153,20 & 2,74 & 1,08 & 0,0658 \\ 11,14 & 0,170 & 1122,70 & 2,72 & 1,10 & 0,0626 \\ 11,19 & 0,160 & 1093,12 & 2,74 & 1,13 & 0,0583 \\ 11,25 & 0,150 & 1058,88 & 2,84 & 1,17 & 0,0528 \\ 11,33 & 0,130 & 1015,47 & 2,21 & 1,22 & 0,0589 \\ 11,58 & 0,110 & 897,69 & 1,35 & 1,38 & 0,0813 \end{matrix}

Tabulka 1: Tabulka hodnot pro křemík

\begin{matrix}d[mm] & U[mV] & λ[nm] & N[10^{−16}] & E[eV] & S[10^{−18}V \\ 9,88 & 0,01 & 2085,91 & 1,51 & 0,59 & 0,0664 \\ 9,95 & 0,10 & 2025,9 & 1,67 & 0,61 & 0,5981 \\ 10,00 & 0,20 & 1983,2 & 1,79 & 0,63 & 1,1192 \\ 10,03 & 0,30 & 1957,67 & 1,85 & 0,63 & 1,6173 \\ 10,60 & 0,40 & 1494,18 & 2,92 & 0,83 & 1,3680 \\ 10,80 & 0,50 & 1346,65 & 3,19 & 0,92 & 1,5696 \\ 10,10 & 0,60 & 1898,38 & 2,01 & 0,65 & 2,9860 \\ 10,13 & 0,70 & 1873,11 & 2,07 & 0,66 & 3,3754 \\ 10,16 & 0,80 & 1847,94 & 2,14 & 0,67 & 3,7433 \\ 10,17 & 0,81 & 1839,57 & 2,16 & 0,67 & 3,7534 \\ 10,18 & 0,82 & 1831,22 & 2,18 & 0,68 & 3,7636 \\ 10,19 & 0,83 & 1822,87 & 2,2 & 0,68 & 3,7738 \\ 10,20 & 0,84 & 1814,54 & 2,22 & 0,68 & 3,7615 \\ 10,21 & 0,84 & 1806,22 & 2,24 & 0,69 & 3,7496 \\ 10,23 & 0,84 & 1789,62 & 2,28 & 0,69 & 3,6833 \\ 10,28 & 0,83 & 1748,35 & 2,38 & 0,71 & 3,4889 \\ 10,30 & 0,82 & 1731,94 & 2,42 & 0,72 & 3,3920 \\ 10,31 & 0,81 & 1723,76 & 2,44 & 0,72 & 3,3245 \\ 10,33 & 0,80 & 1707,44 & 2,47 & 0,73 & 3,2336 \\ 10,39 & 0,70 & 1658,87 & 2,58 & 0,75 & 2,7096 \\ 10,44 & 0,60 & 1618,87 & 2,67 & 0,77 & 2,2467 \\ 10,50 & 0,50 & 1571,5 & 2,77 & 0,79 & 1,8049 \\ 10,59 & 0,40 & 1501,81 & 2,91 & 0,83 & 1,3749 \\ 10,71 & 0,30 & 1411,77 & 3,08 & 0,88 & 0,9754 \\ 10,84 & 0,20 & 1318,42 & 3,23 & 0,94 & 0,6191 \\ 11,14 & 0,10 & 1122,7 & 2,72 & 1,10 & 0,3681 \end{matrix}

Tabulka 2: Tabulka hodnot pro germanium

Obrázek 2: Graf závislosti fotonapětí na energii fotonu pro křemík

Obrázek 3: Graf závislosti fotonapětí na energii fotonu pro germanium

3. Závěr

Z grafů byly odečteny energie pro poloviční hodnoty z maximalní hodnoty S(E). Odtud získáváme šířku zakázaného pásu pro křemík: E_{g} = 0, 82eV a pro germanium: E_{g} = 0, 64eV. Tabulkové hodnoty šířky zakázaného pásu jsou E_{g} = 1, 11eV pro křemík a E_{g} = 0, 67eV pro germanium. U germania se naše měření téměř přesně shoduje s tabulkovou hodnotou, u křemíku je odchylka způsobena pravděpodobně pouze nepřesností měření.