% Hlavicka pro protokoly z fyzikalniho praktika.
% Verze pro: LaTeX
% Verze hlavicky: 22. 2. 2007
% Autor: Ustav fyziky kondenzovanych latek
% Ke stazeni: www.physics.muni.cz/ufkl/Vyuka/
% Licence: volne k pouziti, nejlepe k vcasnemu odevzdani protokolu z Vaseho mereni.

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{multicol}


% Kodovani (cestiny) v dokumentu: (doporucujeme UTF-8).
\usepackage[utf8]{inputenc}	% Doporucujeme pouzivat UTF-8 (unicode).
%\usepackage[cp1250]{inputenc}	% Omezena stredoevropska kodova stranka, pouze MSW.

%%% Nemente:
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\newtoks\jmenopraktika \newtoks\jmeno \newtoks\datum
\newtoks\obor \newtoks\rocnik \newtoks\semestr
\newtoks\cisloulohy \newtoks\jmenoulohy
\newtoks\tlak \newtoks\teplota \newtoks\vlhkost
%%% Nemente - konec.


%%%%%%%%%%% Doplnte pozadovane polozky:

\jmenopraktika={Fyzikální praktiku 3}  % nahradte jmenem vaseho predmetu
\jmeno={Radek Žemlička}            % nahradte jmenem mericiho
\datum={2.~dubna 2009}        % nahradte datem mereni ulohy
\obor={F}                     % nahradte zkratkou vami studovaneho oboru
\rocnik={II}                  % nahradte rocnikem, ve kterem studujete
\semestr={IV}                 % nahradte semestrem, ve kterem studujete
\cisloulohy={5}               % nahradte cislem merene ulohy
\jmenoulohy={Šířka pásu zakázaných energií v polovodičích} % nahradte jmenem merene ulohy

\tlak={865}                   % nahradte tlakem pri mereni (v hPa)
\teplota={21,1}               % nahradte teplotou pri mereni (ve stupnich Celsia)
\vlhkost={69}               % nahradte vlhkosti vzduchu pri mereni (v %)

%%%%%%%%%%% Konec pozadovanych polozek.


%%%%%%%%%%% Uzitecne balicky:
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{xspace}
\usepackage{url}
\usepackage{indentfirst}

%%%%%% Zamezeni parchantu:
\widowpenalty 10000 \clubpenalty 10000 \displaywidowpenalty 10000
%%%%%% Parametry pro moznost vsazeni vetsiho poctu obrazku na stranku
\setcounter{topnumber}{3}	  % max. pocet floatu nahore (specifikace t)
\setcounter{bottomnumber}{3}	  % max. pocet floatu dole (specifikace b)
\setcounter{totalnumber}{6}	  % max. pocet floatu na strance celkem
\renewcommand\topfraction{0.9}	  % max podil stranky pro floaty nahore
\renewcommand\bottomfraction{0.9} % max podil stranky pro floaty dole
\renewcommand\textfraction{0.1}	  % min podil stranky, ktery musi obsahovat text
\intextsep=8mm \textfloatsep=8mm  %\intextsep pro ulozeni [h] floatu a \textfloatsep pro [b] or [t]

% Tecky za cisly sekci:
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}.}
\renewcommand{\thesubsection}{\thesection\arabic{subsection}.}
% Jednopismenna mezera mezi cislem a nazvem kapitoly:
\makeatletter \def\@seccntformat#1{\csname the#1\endcsname\hspace{1ex}} \makeatother


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Zacatek dokumentu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Nemente:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}

{
\begin{center}
\sf 
{\Large Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v~Brně} \\
\bigskip
{\huge \bfseries FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM} \\
\bigskip
{\Large \the\jmenopraktika}
\end{center}

\bigskip

\sf
\noindent
\setlength{\arrayrulewidth}{1pt}
\begin{tabular*}{\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}} l l}
\large {\bfseries Zpracoval:}  \the\jmeno & \large  {\bfseries Naměřeno:} \the\datum\\[2mm]
\large  {\bfseries Obor:} \the\obor  \hspace{5mm}  {\bfseries Ročník:} \the\rocnik 
\hspace{5mm} {\bfseries Semestr:} \the\semestr  &\large {\bfseries Testováno:}\\
\\
\hline
\end{tabular*}
}

\bigskip

{
\sf
\noindent \begin{tabular}{p{3cm} p{0.6\textwidth}}
\Large  Úloha č. {\bfseries \the\cisloulohy:} \par
\smallskip
%$T=\the\teplota$~$^\circ$C \par
%$p=\the\tlak$~hPa \par
%$\varphi=\the\vlhkost$~\%
&\Large \bfseries \the\jmenoulohy  \\[2mm]
\end{tabular}
}

\vskip1cm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% konec Nemente.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Zacatek textu vlastniho protokolu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\section{Teorie}
	Šířka pásu zakázaných energií elektronu v látce $E_g$ je jednou z charakteristik, podle které rozlišujeme látky na kovy, polovodiče a dielektrika. Elektron v libovolné pevné látce může nabývat pouze určitých hodnot. Dovolené hodnoty energie se shlukují do intervalů, kterým říkáme energiové pásy. Z hlediska rozdělení látek do výše zmíněných tří skupin nás zajímají pouze dva pásy s vysokými hodnotami energie. Je to tzv. valenční pás a vodivostní pás. Viz schéma na obrázku $\ref{Pas.schema}$ . 
	
	\begin{figure}[h]
	
		\centering
 		\includegraphics[scale=0.8]{obr.eps}
 		\caption{Pásové schéma polovodiče. $E_c$ je energie dna vodivostního pásu, $E_v$ energie stropu valenčního pásu, $E_f$ energie tzv. Fermiho hladiny a $E_g$ šířka zakázaného pásu}
 		\label{Pas.schema}
	\end{figure}


	Aby látka mohla vést proud, musí v ní mít některé elektrony možnost pohybovat se volně v pásu energií, ve kterém se zrovna nachází. Tuto možnost má pouze v případě, není-li daný pás bezezbytku zaplněn elektrony. (V každém pásu se totiž může vyskytovat pouze omezený počet elektronů). Dielektrika mají valenční pás zcela zaplněn. Vodivostní pás je sice neobsazen, ale „energiová“ vzdálenost mezi těmito dvěma pásy (tedy šířka zakázaného pásu $E_g$ ) je natolik velká, že ji elektrony nemohou za běžných podmínek překonat. U kovů je naopak $E_g$ nulová a elektrony mají dost volných stavů, aby se mohli pohybovat a podílet se na elektrické vodivosti.  Konečně u polovodičů, je šířka zakázaného pásu nenulová, avšak dostatečně malá na to, aby mohlo docházet k přechodu elektronů z valenčního do vodivostního pásu. 
	
	U polovodičů existuje další typ vodivosti. Tím je například děrový, kdy se postupně zaplňují volná místa ve valenčním pásu elektrony ve smeru k nižšímu potenciálu.
   	Šířku zakázaného pásu můžeme zjišťovat u polovodičů například na PN 
	přechodu pomocí fotoelektrického jevu. V oblasti PN přechodu dochází k vytvoření prostorového náboje díky přesunům elektronů a děr. Vznikne tu tedy nenulové elektrické
pole. Pokud dopadající fotony mají energii větší než šířka zakázaného pásu, elektrony mohou přecházet z valenčního do vodivostního pásu. Díky elektrickému poli se náboje rozdělují,
čímž se ale mění prostorový náboj a také elektrické pole. Na PN přechodu se pak objevuje
fotonapětí, které závisí na intenzitě záření.
    Záření o různých vlnových délkách se absorbuje v různé hloubce. Absorpce záření je
popsána vztahem

	\begin{equation}
	 	I(x) = I_0 R e^{-ax}
	\end{equation}

	kde $I(x)$ je intenzita záření v hloubce $x$, $R$ optická odrazivost, a $\alpha$ koeficient absorbce, který je závislý na na vlnové délce (s jejím růstem klesá). 


\section{Měření}
\subsection{Způsob měření}
	   Měření bylo provedeno s křemíkovou a germaniovou fotodiodou. Na diodu dopadalo světlo ze žárovky rozkládané otočným hranolem. Napětí diody bylo měřeno voltmetrem. Vzhledem k použité optické soustavě byla vlnová délka určena polohou mikrometrického šroubu, jehož otáčením byl hranol nastavován. Měřena tedy byla poloha mikrometrického šroubu a napětí na diodě. 

       Šířka zakázaného pásu $E_g$ se určuje z tzv. spektrální závislosti fotonapětí připadajícího na jeden foton $S(\lambda)$ , s čímž rozumíme závislost podílu měřeného fotonapětí $U(\lambda)$ a počtu $N(\lambda)$ dopadajících fotonů na vlnové délce:
	
	\begin{equation}
	 	S(\lambda) = \frac{U(\lambda)}{N(\lambda)}
	\end{equation}

\subsection{Naměřené hodnoty a jejich zpracování}
	Byla měřena závislost napětí $U$ na poloze hranolu $d$. Polohu hranolu $d$ je možné přepočítat na vlnovou délku, pomocí tabulky uvedené v návodu. Z této tabulky byl numericky (metodou interpolace spline – funkcemi ) vypořítán následující interpolační polynom, který byl dále užíván, jako převodní vztah:
	
	\begin{equation}
	 \lambda(d) = -1,20 d^5 + 6.35 d^4 - 1,34 d^3 +1,41 d^2 - 7,34 d + 1,54
	\end{equation}
	
	Z další tabulky uvedené v návodu byl pomocí programu SciDavis numericky vytvořeny interpolační polynomy aproximující vztah pro závislost počtu dopadajících fotonů na vlnové délce:
	
	\begin{equation}
	 N(\lambda) = \left\{ 
	\begin{array}{ll}
	-5,79 \cdot 10^{-9} \lambda^3 + 2,42 \cdot 10^{-5} \lambda^2 - 2,33 \cdot 10^{-2} \lambda +6,84,   &  \lambda \in (700, 1050)\\
	  3,41 \cdot 10^{-8} \lambda^3 - 1,42 \cdot 10^{-4} \lambda^2 + 0,19 \lambda -85,3 ,  &\lambda \in (1050, 1300)\\
	   2,49 \cdot 10^{-10} \lambda^3 - 2,07 \cdot 10^{-6} \lambda^2 + 2,60 \cdot 10^{-3} \lambda +2,83 ,  &\lambda \in (1300, 2000)
	  \end{array} \right.
	\end{equation}

 
	\subsubsection{Tabulky a grafy shrnující měření}


% 	\centering
% 	\includegraphics[scale=0.8]{obrazek.eps}
% 	\caption{Silové působení magnetického pole na elektronový 
% 
	
 	\begin{center}
    	\begin{tabular}{cccc|c|c}	
	$d [mm]$ & $U[mV]$ & $\lambda [nm]$ & $N[10^{-16}]$ & $E[eV]$ & $S[10^{-18}V$  \\
	\hline
9,85	&0,090	&2111,70	&1,43	&0,59	&0,0627\\
9,98	&0,095	&2000,26	&1,74	&0,62	&0,0546\\
10,03	&0,100	&1957,67	&1,85	&0,63	&0,0539\\
10,06	&0,105	&1932,20	&1,92	&0,64	&0,0546\\
10,14	&0,110	&1864,71	&2,10	&0,67	&0,0525\\
10,16	&0,115	&1847,94	&2,14	&0,67	&0,0538\\
10,20	&0,120	&1814,54	&2,22	&0,68	&0,0541\\
10,21	&0,125	&1806,22	&2,24	&0,69	&0,0558\\
10,22	&0,130	&1797,91	&2,26	&0,69	&0,0575\\
10,23	&0,135	&1789,62	&2,28	&0,69	&0,0592\\
10,25	&0,140	&1773,07	&2,32	&0,70	&0,0603\\
10,27	&0,145	&1756,57	&2,36	&0,71	&0,0615\\
10,29	&0,150	&1740,13	&2,40	&0,71	&0,0625\\
10,30	&0,155	&1731,94	&2,42	&0,72	&0,0641\\
10,31	&0,160	&1723,76	&2,44	&0,72	&0,0657\\
10,32	&0,165	&1715,59	&2,46	&0,72	&0,0672\\
10,33	&0,170	&1707,44	&2,47	&0,73	&0,0687\\
10,34	&0,175	&1699,30	&2,49	&0,73	&0,0702\\
10,35	&0,180	&1691,18	&2,51	&0,73	&0,0717\\
10,36	&0,185	&1683,08	&2,53	&0,74	&0,0731\\
10,37	&0,190	&1674,99	&2,55	&0,74	&0,0746\\
10,38	&0,195	&1666,92	&2,57	&0,74	&0,0760\\
10,39	&0,200	&1658,87	&2,58	&0,75	&0,0774\\
10,40	&0,205	&1650,84	&2,60	&0,75	&0,0788\\
10,40	&0,210	&1650,84	&2,60	&0,75	&0,0807\\
10,41	&0,215	&1642,82	&2,62	&0,75	&0,0821\\
10,42	&0,220	&1634,82	&2,64	&0,76	&0,0835\\
10,43	&0,225	&1626,84	&2,65	&0,76	&0,0848\\
10,44	&0,230	&1618,87	&2,67	&0,77	&0,0861\\
10,44	&0,235	&1618,87	&2,67	&0,77	&0,0880\\
10,44	&0,240	&1618,87	&2,67	&0,77	&0,0899\\
10,45	&0,245	&1610,93	&2,69	&0,77	&0,0912\\
10,45	&0,250	&1610,93	&2,69	&0,77	&0,0930\\
10,46	&0,255	&1603,00	&2,70	&0,77	&0,0943\\
10,47	&0,260	&1595,10	&2,72	&0,78	&0,0956\\
10,47	&0,265	&1595,10	&2,72	&0,78	&0,0974\\
10,50	&0,265	&1571,50	&2,77	&0,79	&0,0957\\
10,51	&0,265	&1563,67	&2,79	&0,79	&0,0951\\
10,53	&0,260	&1548,08	&2,82	&0,80	&0,0923\\
10,54	&0,255	&1540,31	&2,83	&0,81	&0,0900\\
10,55	&0,250	&1532,57	&2,85	&0,81	&0,0877\\
10,56	&0,250	&1524,85	&2,86	&0,81	&0,0873\\
10,57	&0,248	&1517,15	&2,88	&0,82	&0,0861\\
10,58	&0,247	&1513,30	&2,89	&0,82	&0,0856\\
10,58	&0,249	&1509,47	&2,89	&0,82	&0,0860\\
10,59	&0,250	&1501,81	&2,91	&0,83	&0,0859\\
10,60	&0,252	&1497,99	&2,92	&0,83	&0,0864\\
10,60	&0,252	&1494,18	&2,92	&0,83	&0,0862\\
10,61	&0,253	&1486,57	&2,94	&0,83	&0,0861\\
10,62	&0,257	&1478,98	&2,95	&0,84	&0,0870\\
10,63	&0,260	&1471,42	&2,97	&0,84	&0,0876\\
10,64	&0,262	&1463,87	&2,98	&0,85	&0,0879\\
\end{tabular}
\end{center}
\clearpage
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{cccc|c|c}
$d [mm]$ & $U[mV]$ & $\lambda [nm]$ & $N[10^{-16}]$ & $E[eV]$ & $S[10^{-18}V$  \\
\hline
10,65	&0,263	&1456,36	&3,00	&0,85	&0,0878\\
10,66	&0,264	&1448,87	&3,01	&0,86	&0,0877\\
10,67	&0,262	&1441,40	&3,02	&0,86	&0,0867\\
10,68	&0,261	&1433,95	&3,04	&0,86	&0,0860\\
10,69	&0,260	&1426,54	&3,05	&0,87	&0,0853\\
10,70	&0,258	&1419,14	&3,06	&0,87	&0,0842\\
10,72	&0,255	&1404,43	&3,09	&0,88	&0,0826\\
10,76	&0,250	&1375,32	&3,14	&0,90	&0,0797\\
10,78	&0,245	&1360,93	&3,16	&0,91	&0,0775\\
10,80	&0,240	&1346,65	&3,19	&0,92	&0,0753\\
10,82	&0,235	&1332,48	&3,21	&0,93	&0,0732\\
10,83	&0,230	&1325,44	&3,22	&0,94	&0,0714\\
10,85	&0,220	&1311,44	&3,24	&0,95	&0,0679\\
10,93	&0,210	&1256,64	&3,11	&0,99	&0,0676\\
11,00	&0,200	&1210,33	&2,89	&1,02	&0,0691\\
11,04	&0,190	&1184,60	&2,81	&1,05	&0,0677\\
11,09	&0,180	&1153,20	&2,74	&1,08	&0,0658\\
11,14	&0,170	&1122,70	&2,72	&1,10	&0,0626\\
11,19	&0,160	&1093,12	&2,74	&1,13	&0,0583\\
11,25	&0,150	&1058,88	&2,84	&1,17	&0,0528\\
11,33	&0,130	&1015,47	&2,21	&1,22	&0,0589\\
11,58	&0,110	&897,69	&1,35	&1,38	&0,0813\\


\end{tabular}
\caption{Tabulka hodnot pro křemík}
    
  \end{center}



\begin{center}
\begin{tabular}{cccc|c|c}
$d [mm]$ & $U[mV]$ & $\lambda [nm]$ & $N[10^{-16}]$ & $E[eV]$ & $S[10^{-18}V$  \\
\hline
9,88	&0,01	&2085,91	&1,51	&0,59	&0,0664\\
9,95	&0,10	&2025,9		&1,67	&0,61	&0,5981\\
10,00	&0,20	&1983,2		&1,79	&0,63	&1,1192\\
10,03	&0,30	&1957,67	&1,85	&0,63	&1,6173\\
10,60	&0,40	&1494,18	&2,92	&0,83	&1,3680\\
10,80	&0,50	&1346,65	&3,19	&0,92	&1,5696\\
10,10	&0,60	&1898,38	&2,01	&0,65	&2,9860\\
10,13	&0,70	&1873,11	&2,07	&0,66	&3,3754\\
10,16	&0,80	&1847,94	&2,14	&0,67	&3,7433\\
10,17	&0,81	&1839,57	&2,16	&0,67	&3,7534\\
10,18	&0,82	&1831,22	&2,18	&0,68	&3,7636\\
10,19	&0,83	&1822,87	&2,2	&0,68	&3,7738\\
10,20	&0,84	&1814,54	&2,22	&0,68	&3,7615\\
10,21	&0,84	&1806,22	&2,24	&0,69	&3,7496\\
10,23	&0,84	&1789,62	&2,28	&0,69	&3,6833\\
10,28	&0,83	&1748,35	&2,38	&0,71	&3,4889\\
10,30	&0,82	&1731,94	&2,42	&0,72	&3,3920\\
10,31	&0,81	&1723,76	&2,44	&0,72	&3,3245\\
10,33	&0,80	&1707,44	&2,47	&0,73	&3,2336\\
10,39	&0,70	&1658,87	&2,58	&0,75	&2,7096\\
10,44	&0,60	&1618,87	&2,67	&0,77	&2,2467\\
10,50	&0,50	&1571,5		&2,77	&0,79	&1,8049\\
10,59	&0,40	&1501,81	&2,91	&0,83	&1,3749\\
10,71	&0,30	&1411,77	&3,08	&0,88	&0,9754\\
10,84	&0,20	&1318,42	&3,23	&0,94	&0,6191\\
11,14	&0,10	&1122,7		&2,72	&1,10	&0,3681\\


\end{tabular}
\caption{Tabulka hodnot pro germanium}
    
  \end{center}
\end{table}
	
\clearpage
\begin{figure}[ht]
	
		\centering
 		\includegraphics[scale=0.7, angle=270]{graf1.eps}
 		\caption{Graf závislosti fotonapětí na energii fotonu pro křemík}
 		\label{graf1}
	


	
		\centering
 		\includegraphics[scale=0.7, angle=270]{graf2.eps}
 		\caption{Graf závislosti fotonapětí na energii fotonu pro germanium}
 		\label{graf1}
	\end{figure}


\section{Závěr}


	Z grafů byly odečteny energie pro poloviční hodnoty z maximalní hodnoty S(E). Odtud získáváme šířku zakázaného pásu pro křemík: $E_g = 0,82 eV$ a pro germanium: $E_g = 0,64 eV$.    Tabulkové hodnoty šířky zakázaného pásu jsou $E_g =1,11eV$ pro křemík a $E_g = 0,67eV$ pro germanium. U germania se naše měření téměř přesně shoduje s tabulkovou hodnotou, u křemíku je odchylka způsobena pravděpodobně pouze nepřesností měření. 


% Nakonec nezapomeňte projet text programem vlna nebo vlnka, např.
% 	vlna -m -l -n mojeuloha.tex
% nebo zkontrolovat a opravit jednopísmenné předložky na koncích řádků ručně.


\end{document}




